Eso, al ser comunicación con el servidor se deberá hacer con AJAX.
Por un lado tienes la vista del cliente y con la que interactuara el mismo:
<td ><div class="Menu_derecha"><a href="#">BOTON1</a></div></td>
<td ><div class="Menu_derecha"><a href="#">BOTON2</a></div></td>
<td ><div class="Menu_derecha"><a href="#">BOTON3</a></div></td>
Y por el otro tendrás el código PHP para poder interactuar con la interacción del cliente.
<?php
$boton='$boton';
echo "boton = $boton";
?>
Debes de leer las bases de javascript y AJAX para poder entender bien el tema ya que encuentro bastantes errores básico de html como usar varios id's del mismo nombre.
Te dejo un enlace que te puede servir: http://www.cristalab.com/tutoriales/tutorial-de-ajax-c162l/