EL error esta aca $_SESSION['user']= $_POST[$usuario] ;
Te dice que el indice es incorrecto ya que $_POST[$usuario] no existe, lo que tenes que colocar es:
Código PHP:
$_SESSION['user']= $_POST['user'] ; //como al principio
//o bien
$_SESSION['user']= $usuario;
Espero haber sido de utilidad,
Saludos