ginitofl tiene razón, no me había fijado de que estabas mostrando todo en la misma pagina, intenta así:
<form name="anyoAct" method="post">
<p> Año:
<select name="selectAnyoActividad"
onChange="document.getElementById('divfech').inner HTML = this.value;">
<?php foreach($listadoAnyos as $lAnyo){
$anyoActividad = $lAnyo->getAnyoActividad();
?>
<option value="<?php echo $anyoActividad;?>">
<?php echo $anyoActividad; ?></option>
<?php }
?>
</select>
</p>
La fecha es: <div id="divfech">desconocida</div>
</form>