Bien, primero que nada...
Para lo que vos queres hacer no necesitas usar mucho PHP... En el archivo a incluir, lo unico que tenes que hacer es renombrar la extencion del html normal... Osea, vos tenes "modulo_derecho.html" le pones "modulo_derecho.php" y despues le das donde lo queres incluir
include modulo_derecho.php(con código, claro..) y listo.
Pero, para resolver tu duda...
Código PHP:
//Podes hacer un echo de dos formas:
echo 'Pepe honguito'; //Esto se vería: Pepe honguito
echo "Pepe honguito"; //Esto seria lo mismo que recien: Pepe honguito
//PERO
$pepe_honguito = 'Pepon';
echo '$pepe_honguito'; //Se veria: $pepe_honguito
echo "$pepe_honguito"; //Se veria el contenido de la variable $pepe_honguito: Pepon
A que llegamos con esto: Si en un echo vos usas doble comilla, el código de parsea... pero si usas comillas simples el codigo simplemente se imprime, es decir que PHP no lo "interpreta"
Conclucion: En el caso que vos mostraste arriba deberias haber usado comilla simple, ya que no tenes ninguna variable que necesites imprimid, es código plano.
Otra opcion, si queres usar doble comilla, podrías haber cambiado todas las doble comillas del codigo html por comillas simples, es lo mismo.
O tambíen podrias haber cambiado las dobles comillas del codigo html por
"/ o /" (una de las dos era, no me acuerdo bien....). Haciendo eso, php no interpreta las dobles comillas del código html (pode usar doble comilla en le echo)
Saludos, espero haber resuelto tu duda. ;)