Necesitas algo más que Flash... debes tener algo en el servidor que reciba lo que la gente escribe y lo almacene en una base de datos (o en un archivo...). Y para recuperar esos mensajes, necesitas acceder a la base de datos, recuperarlos y enviarlos al cliente para que los muestre.
Te recomiendo que comiences con la parte del servidor. Podrías usar Php, Perl, Python, Java... del lado del servidor para conectarse con la BD y realizar las operaciones.
Esto te podría servir de referncia:
http://www.tutoriales-flash.com/tutorial.php?id_tuto=30
Ahí usan ASP
pero lo importante es ver cómo lo hacen en Flash, ya que el lado del servidor depende de lo que necesites y puedas usar.
Saludos.