Puedes hacerlo de dos maneras:
1.- Recargando la pagina
2.- Haciendolo por AJAX (javascript+otra pagina)
En la opcion 1: tienes que hacer una verificacion para ver si el boton de envio ha sido presionado y si es asi es porque te enviaron el formulario y haces las validaciones y luego la insercion a la base de datos.
En la opcion 2: tienes que enviar los datos por medio de javascript a una segunda pagina que los revisa, los guarda y luego esa misma pagina imprime una respuesta a la funcion javascript para que esta muestre un mensaje en la pagina del formulario en donde diga que los datos han sido guardados.
Para los dos casos tienes esas opciones.
Suerte!
