Eliminar botón del select

[unexes]

Lo he intentado antes de dirigirme al foro pero como no se como se hace e estado haciendo pruebas, mirando el codigo de otros select que hay en la red pero como la programación del mismo es distinta no me he apañado, ya que mis conocimientos son escasos, gracias por tu orientación pero aunque no quiero que nadie me haga el trabajo, necesito que alguien me ponga el codigo correcto y comparando las diferencias comprendere el funcionamiento.
Gracias a tod@s.