Tu pregunta tiene que ver más con javascript, pero probá reemplazar tus archivos de esta manera:
Código PHP:
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>Existencia de Productos</title>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="css/estilos.css" />
</head>
<body>
<?php
include("conex.php");
?>
<div align="center"><strong> SELECCIONE LA BASE DE DATOS A RESPALDAR</strong> </div>
<?php
$result=mysql_list_dbs();
?>
<table width="400" border="0" align="center">
<tr>
<form name='respaldo' method='post' action='respaldar_data.php' onsubmit="document.getElementById('loading').style.visibility='visible'" target="pp">
<th width="150" scope="row" bordercolor="#F0F0F0" class="fondo"><label>Nombre del Respaldo:</label></th>
<td colspan="6" align="center" bgcolor="#CCCCCC"><input name="backup" type="text" value="" size="25" maxlength="55" title="Nombre del Respaldo" class="inputboxInicio" /><br/></td>
<tr>
<td colspan="3" align="center" bordercolor="#F0F0F0" class="fondo">
<label><strong> Base de Datos: </strong></label>
<td width="139" bgcolor="#CCCCCC">
<label> Datas: </label>
</td>
<td width="41">
<select name = "datas" title="Datas">
<?php
while ($resultado = mysql_fetch_array($result))
{
//$resultado[0] = 'Deportivos 2000';
echo "<option value={$resultado['0']}>{$resultado['0']}</option>";
}
mysql_free_result($result);
?>
</select>
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="7" bgcolor="#CCCCCC"><div align="right"> <img id="loading" style="visibility:hidden" src="http://www.labuenamesa.carrefour.es/img/loading.gif" /><input name="respaldar" type="submit" value="Respaldar" class="boton" />
</div></td>
</tr>
</form>
</tr>
</table>
</div>
<iframe style="position:absolute; top:-15000px; width:0; height:0" name="pp"></iframe>
</body>
</html>
Código PHP:
<?php
$backup = $_POST['backup'];
$data = $_POST['datas'];
$fecha = date("Y-m-d");
system("mysqldump -h localhost -u root $data > ../respaldos/".$backup."_".$fecha.".sql ");
echo "
<script>
top.document.getElementById('loading').style.visibility='hidden';top.alert('respaldo completado');
</script>";
?>
Como verás, agregamos una imagen con id loading, agregamos un iframe de nombre pp y al tag form le agregamos un target pp para que el formulario se submita al iframe, y también le agregamos al tag form un evento onsubmit para que muestre la imagen loading cuando el form sea enviado. Finalmente cambiamos el javascript del segundo archivo para que actúe sobre la ventana principal, que es donde el iframe está incluído.