Duda al traer un dato de la BD

[FiruzzZ]

Hay varias cosas que estás haciendo mal...

1 - La peor de todas es ignorar la EXCEPTION QUE TE ESTARÍA DICIEND Y AYUDANDO MUCHISIMO A DARTE CUENTA CUAL ES TU ERROR por lo cual pensás que tu query "no te está retornando nada".

2 - la columna que te retorna tu consulta NO TIENE NOMBRE, por lo tanto esta linea

Una sencilla solución sería cambiar esto:
rs.getString("No_empleado");
por:
rs.getString(1);

id = rs.getString("No_empleado");
te está dando una SQLException
Un poco de SQL:
Acá la columna de retorno no tiene ningún nombre (pero si un index)
SELECT MAX(No_empleado) FROM....
no es lo mismo que
SELECT MAX(No_empleado) as No_empleado FROM

Código Java:

try {
   Statement st = adaptador.createStatement();
   ResultSet rs = st.executeQuery("SELECT MAX(No_empleado) FROM usuario");
   while (rs.next()){
           id = rs.getString("No_empleado");
   }
   rs.close();
   rs.close();
   } catch (SQLException e) {
       //e.printStackTrace();     <---IGNORANDO EXCEPTION?!!?? dónde aprenden esto??
   }
   return id;
 

Observación: tu id (No_empleado) es un String/character varying? para hacer rs.getString(.........) en vez de rs.getInt(.......).