uso de count

[gnzsoloyo]

Tu caso es un poquito más complejo y no sirve usar COUNT() para esas discriminaciones, además que un COUNT no puede contener una condición lógica.

Código MySQL:

SELECT 
    tabla1.id,
    tabla1.nombre, 
    SUM(IF(tabla2.categoria=1, 1, 0)) as Cat1,
    SUM(IF(tabla2.categoria=2, 1, 0)) as Cat2,
    SUM(IF(tabla2.categoria=3, 1, 0)) as Cat3
FROM tabla1 LEFT JOIN tabla2 ON tabla1.id=tabla2.relacion
GROUP BY tabla1.id
 

No estoy muy seguro de la funcionalidad del GROUP BY en este contexto porque no me puse a revisar detalladamente el ejemplo de datos que posteaste.
Luego reviso mejor.