Hola:
Tal vez (eso me parece) tu problema es más específico de php...
Si solo recibes los elementos con el id_designación=1, entonces todos deberán tener el checked="checked", pero si listas todos, no necesitas usar la claúsula where, y por cada registro de la base de datos, poner ese atributo checked si están a uno...
Procura explicarte mejor, porque por lo que veo no necesitas ayuda en javascript (tal vez no te llegué a entender...)
Saludos
