Imagen aleatoria al pulsar enlace

[Enjuto]

@emprear A ver... (antes de que esto salga de madre, que no debería):
1. Bueno, sí, OK.
2. Tampoco me interesa la precarga, ya que, si añado muchas imágenes, no quiero que la página esté eternamente cargando. Lo ideal sería que apareciera la imagen nada más pulsar el botón y, a partir de ahí, vaya cargando (de ser necesario).
3. Con "parece no tener ningún efecto" me refería al lapso de tiempo entre pulsar botón y ver nueva imagen (que previamente ha tenido que cargar). Pero hacía referencia a mi caso (y creía que esa referencia era clara tras el "funcionó, pero..."), y no a las imágenes que "no existen" en tu ejemplo, cuya explicación había entendido a la primera. Siento si no me he expresado bien.
4. No. Señalé que quería un enlace/botón con el que tuviera el mismo resultado que recargando la página (es decir, que la imagen cambiara), pero no que se suprimiera esta última función.
5. Completando "4.": Sólo las dos primeras que comentas, a la vez.

No obstante, repito, estoy muy agradecido por la ayuda brindada. Y apunto, de paso, que mi mensaje anterior era simplemente un comentario tras el resultado, no (en absoluto) una queja.

Lamento si resulto cargante/molesto/pesado. Es lo último que deseo.