Pues me voy a responder yo mismo porque le he seguido dando vueltas y he encontrado una solución (posiblemente un poco chapucera) que funciona tanto en Firefox como en Chrome.
Lo que he hecho ha sido añadir un <div> adicional y posicionarlo con position:absolute; justo encima del div #cabecera y con un z-index inferior.
Mi única duda, es si en distintas resoluciones (por ejemplo un portátil) se verá bien o se descuadrará el div colocado con position:absolute
¿Qué os parece la solución?