La consulta:
Código PHP:
$query = mysql_query('SELECT youtube FROM likes ORDER BY RAND() LIMIT 1');
$resultado = mysql_fetch_array($query);
$el_enlace_de_youtube = $resultado['youtube'];
En $el_enlace_de_youtube tendrías el ID de youtube aleatorio, así que podrías hacer algo así:
Código PHP:
$query = mysql_query('SELECT youtube FROM likes ORDER BY RAND() LIMIT 1');
$resultado = mysql_fetch_array($query);
$el_enlace_de_youtube = $resultado['youtube'];
echo '<object style="height: 444px; width: 525px">
<param name="movie" value="'.$el_enlace_de_youtube.'">
<param name="allowFullScreen" value="true">
<param name="allowScriptAccess" value="always">
<embed src="el_enlace_de_youtube" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true" allowScriptAccess="always" width="525" height="444"></center>
</object>';
Saludos!