Hola nuevamente!
Claro, está el método tradicional, con el cual descargas todos los archivos del sitio y luego los subes al nuevo FTP y luego mas tarde ingresas con phpMyAdmin para actualizar la base de datos.
Así funciona, pero es algo largo desde mi punto de vista. Lo que yo te recomiendo es que hagas un intento por algo más moderno, no se pierde nada. Yo que tu me doy una vuelta por
Akeebabackup. Encontrarás un
componente que instalas en tu sitio antiguo, con el cual podrás hacer un respaldo completo de tu sitio incluida la base de datos. Entonces despues lo descargas, lo extraes con el
Akeeba eXtract Wizard y lo subes. Cuando ingreses al nuevo servidor te aparecerá el entorno de instalación (parecido al de Joomla). Sigues las instrucciones y tendrás todo funcionando.
Y si tienes dudas con algo puntual del componente usa el foro de ellos. Son muy simpáticos.
Mucha Suerte!