Es cierto. Pero es sumamente ineficiente. Ya que el primary key crea por defecto un indice y al crear otro indice sobre otro campo serían dos indices que realmente no serían aprovechables.
Mi recomendación es que dejes el auto_increment como primary key con su respectivo indice y al campo nombre uses unique key si lo quue quieres es que los nombres no se repitan.
Código SQL:
Ver originalCREATE TABLE tabla (
nombre VARCHAR(20),
numero INT(10) PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT,
UNIQUE KEY(nombre)
);