La mejor forma es hacerlo mediante AJAX, simplemente agregando el nuevo texto al textarea y, de paso, recomendarte que no uses textarea para mostrar el contenido del chat, sino un div:
<div id="chatText">Valor inicial de la ventana del chat, tal vez sea un texto de bienvenida, link al reglamento, etc.</div>
Por medio de CSS puedes asignar las caracteristicas necesarias como barras de desplazamiento, tipo de letra, colores, etc.
Finalmente, te recomiendo solicitar ayuda en la
seccion AJAX.
Con solo PHP es muy dificil lograr lo que necesitas... aunque realmente no es imposible.
