Hola:
Efectivamente, eso no se va a ver en el navegador. Puedes como dices sobreescribir paint(), o la otra opción es aprovechar que JApplet es también un contenedor para añadirle JLabel y luego llamar a setText(). De esta forma no tienes que usar paint()
Código:
public class MiApplet extends JApplet() {
JLabel label;
public void init () {
label = new JLabel();
label.setText("hola mundo");
add(label);
}
}
tendrás que probar si compila bien, que lo he puesto de memoria.
Se bueno.