Gracias por tu pronta respuesta Adler!!
Ya tenía el código hecho tal cual lo pones en el primer ejemplo. Pero cuando doy a cancelar, no sale el alert, es decir, que no pasa por el else.
Y también lo acabo de probar con el segundo ejemplo que ha puesto, y tampoco funciona. Y además, cuando doy a aceptar, y no escribe nada, también sale el alert del cancelar.
Yo creo que el error debe de estar al crear el prompt, que no debe de tener un valor sin nada. Así le creo:
Código HTML:
var mensaje = prompt("Que quiere hacer","");
Es que no se me ocurre otra cosa...pero he probado diferentes maneras, y ninguna funciona correctamente!