Escapar es poner el \ delante del caracter q lo requiera .. en este caso " ... para usarlo en un "entrecomillado doble" ..
Código PHP:
$message = "
<html>
<body bgcolor=\"#FFFFFF\" link=\"#FFFFFF\" vlink=\"#FFFFFF\" alink=\"#FFFFFF\">
Así con el resto de tus comillas dobles q usas en tu HTML de esa variable ..
Tambien es recomendable que hagas un simple:
echo $message;
Para comprobar que el HTML generado es el correcto y se asignan los valores de las $variables que usas .. Así vas descartando problemas desde la base.
Un saludo,