Para textarea no se usa innerHTML sino value:
Código PHP:
<form>
<textarea id="origen" name="origen">La ruta natural</textarea>
<textarea id="Destino" name="destino"></textarea>
<button onclick="Destino.value=origen.value.split('').reverse().join('').substr(-Destino.value.length+origen.value.length-1); return false;">Palindromar letra</button>
</form>