Morior está dandote la pauta correcta.
La cosa no pasa por cambiar de DBMS y pasarte a SQLite sería un grosero error, porque sus ventajas no residen en las dimensiones de sus tablas sino en su kernel reducido y portatil.
SQLite si, genera archivos para cada tabla, pero eso también lo hace MyiSAM, e InnoDB hace algo parecido, por lo que en realidad no importa mucho cuál estés usando.
Además, tu problema central sigue siendo el mismo: si no cambias de plan, el problema se presentará nuevamente, ya que los requisitos de almacenamiento básicamente se mantienen en tus tablas, por lo que, salvo compresión mediante, cambiar a SQLite solo hará que cambies las sintaxis de algunas cosas sin desaparecer el problema.
Creo que en realidad lo que debes hacer es
ver qué otro hosting usar, partiendo de la base que deberás olvidarte de los gratuitos...