Hola. Después de buscar otro rato, acabo de encontrar la solución. Funciona poniendo delante del session_start la función session_cache_limiter('public'):
Código PHP:
session_cache_limiter('public');
session_start();
Al parecer, PHP tiene su propio control de la cache del navegador, y con esa función lo puedes configurar.
Gracias
Carlos.