Cita: 1 Que al seleccionar la fecha del primer calendario inicio se borre la fecha de fin.
2 Recuperar el valor que he puesto en inicio.
Está bueno que aprendas bien los selectores de jquery.
http://api.jquery.com/category/selectors/
En este caso, al no haber id en los inputs, usamos el name para seleccionarlos. (lo que publicó Dany).
Obtener valor y setear valores se hace con el metodo .val()
http://api.jquery.com/val/
Ahora, que algo suceda depende de un disparador. Por favor publicá las lineas de codigo en donde te parece que puede ponerse un disparador (una función que modifique los inputs). Seguramente el calendario tiene metodos como onSelect o similares.