yo tengo el mismo codigo y si sale todo correcto........ no estoy seguro pero quizas sea por no estar correctas las etiquetas....... prueba asi:
Cita: <html>
<head>
<script type="text/javascript">
function pegarTexto() {
alert(document.formularioLSG.textoRellenar.value);
}
</script>
</head>
<body>
<form name="formularioLSG" method="post" action="recibir.php">
<textarea id="elm1" name="textoRellenar" rows="15" cols="80" style="width: 80%">
uno
</textarea>
<br>
<input type="button" name="pegar" onclick="pegarTexto();" value="Pegar texto" />
</form>
</body>
</html>
ese codigo ya lo probe y todo bien
suerte.