Basicamente todo lo que he añadido a la cabecera que tenga que ver con eso es esto:
"
$mail->AddCustomHeader("Precedence: bulk");
$mail->AddCustomHeader("Return-Path:<
[email protected]>");
$mail->AddCustomHeader("Envelope-from: <
[email protected]>");
$mail->SetFrom(MAIL_SERVER_USER, 'XXXXX');
$mail->Subject = $Rowdb['asunto'];
$mail->AddReplyTo("
[email protected]", 'XXXX');"