Fondo de capa que se desplaza con el contenido

[kseso?]

Disculpa entonces, Coke, fui yo quien no entendió.

Como te decía, el "paddin" para mantener una distancia entre el "border" del padre y sus hijos y el "margin" para que los hermanos mantengan la distancia entre sí.

Entonces, añadiría un "padding-top" al padre ("capa_con_fondo" en tu caso) para dejar ese espacio entre su "border" superior y el primer párrafo; y si necesitas separar verticalmente entre sí los párrafos alojados en él, un "margin-bottom" a ellos ( a los párrafos).
Aunque en el caso de los párrafos, hay otra propiedad para separar entre sí a todas las líneas y cada una que los conforman: "line-height" (con ella en tu ejemplo tampoco sería necesario utilizar el "overflow")

Y una precisión que supongo que tú sí conoces, pero para los posibles lectores futuros del tema):
Como a la caja "#capa_con_fondo" le tienes una altura declarada, cuando el contenido rebase ese límite, simplemente desaparecerá por el valor "hidden". Así que mejor usar el "overflow: auto" para favorecer la aparición del scroll.

Un saludo