¡Bienvenido a Foros del Web Lordcortes! Código PHP:
$query="SELECT * FROM productos WHERE nombre LIKE '%$nombre%' AND categoria LIKE '%categoria%';";
o bien:
Código PHP:
$query="SELECT * FROM productos WHERE nombre LIKE '%$nombre%' OR categoria LIKE '%categoria%';";
La primera es una búsqueda por intersección (devolverá los registros que cumplan con ambas condiciones) y la segunda por unión (devolverá los registros que coincidan con cualquiera de las condiciones). Te recomiendo que leas
algún tutorial de SQL para que puedas sacarle un poco de jugo a esta herramienta. ¡Suerte!