copiar valor de un campo de la tabla en otro campo de la misma tabla

[gnzsoloyo]

No, y en ninguna otro DBMS. Es un problema de sentencias. No puedes hacer una operación DML en un trigger que afecte a la misma tabla que está ejecutando un trigger que se invoca con la misma sentencia que lo disparó....
Es decir, en tanto sigas poniendo UPDATE te dará error en el primero y segundo casos.
Además, en el segundo caso usas TYPE, que no es cláusula MySQL.

Lo que tienes que hacer es operar con el concepto de las pseudovariables NEW y OLD (NEW en este caso):

Código SQL:

CREATE TRIGGER EMP_USERS_trinsNAME AFTER INSERT ON emp_users FOR EACH ROW
BEGIN
    SET NEW.name= NEW.username;
END