El consulta UPDATE acepta mucho mas que 6 campos.. te lo digo por experiencia.. ya que desarrolle un aplicacion que actualizaba 35 campos sin ningun problema.
quizas tu problema se centre en las variables.. ademas te falta un identificador a la consulta SQL
tiene que tener esta forma
Código PHP:
$ID = "juanito"
$sql = "UPDATE usuarios SET nombre='".$nombre."', apellidos='".$apellidos."' WHERE usuarios.nombre='".$ID ."'
tabla.nombre='juanito' seria el identificador
Ademas las variables POST tienen que tener esta forma
Código PHP:
$nombre=$_POST['nombre'];