Hola,
SergeMedina, muchísimas gracias por tu respuesta.

Pero en mi caso no hay ningún error. Si lo hay, sale en el “var_dump("Curl error on handle $i: $err")”. Y no hay log de errores. O sea que no hay error.
La ejecución de mi script es muy rápida (1 segundo), y eso que accedo a 15 URL diferentes. O sea que creo que las peticiones no llegan al servidor externo. Creo que el tema está en mi servidor, y no en el otro. Pero antes de quejarme a mi servidor, debería saber que es lo que puede estar pasando. Puede ser que bloquee algunas IP es concreto? Es ese caso, porque a veces si que funciona en script?
Dios mio

no me siento las piernas ...
PD : espera, que aún me moverán (y con razón, una vez más) este post al foro de servidores ...