Almacenar conexion a una BD en sesion

[Rosencrantz]

como puedo hacer para conectarme a una base de datos una sola vez como esto
$cnxn_bd=mysql_connect($hostname,$username,$passwo rd); y decir que puedo almacenar la variable $cnxn_bd
en sesion a traves de:

session_start();
$_SESSION['$cnxn_bd']=$cnxn_bd;

y despues en las otras paginas simplemente usar la variable en sesion para hacer consultas por ejemplo

pag2.php:
$query= "select * from x";
$result= mysql_quey($query, $_SESSION['$cnxn_bd']); y asi sucesivamente.

Puedo hacerlo?
Gracias de antemano espero poder despejar esa duda.

Saludos