VALUE en valor que agarra y este no se muestra en la generación del html ...corrigiendo queda así:
Código PHP:
$nombre=$fila['nombre']
$apellidos=$fila['apellidos'];
$nombre_completo=$nombre." ".apellidos;
<option value="<?php echo $fila['apellidos']; ?>"> // verifica que realmente es el valor que quieres enviar
<?php echo $nombre_completo;?>
</option>
Salu2