En el
manual de Putty hay una buena explicación sobre redieccionamiento de puertos.
Básicamente, podes redireccionar un puerto local en tu PC, hacia el puerto del servidor d MySQL remoto, y usar tu cliente MySQL favorito para conectarte a traves de este puerto.
Otra aún más fácil, si tenes acceso al hosting web, es instalar phpMyAdmin.
Saludos.