Esta es una pregunta más propia para Bases de Datos, ya que trata específicamente de SQL y no de PHP.
Para realizar este tipo de consulta, tenés que hacer Joins de la misma tabla. Algo asi:
Código SQL:
Ver originalSELECT a.id, a.nombre, padre.nombre, madre.nombre
FROM animal a
LEFT JOIN animal padre ON a.padre_id = padre.id
LEFT JOIN animal madre ON a.madre_id = madre.id
WHERE a.id = 1234
Supongo que con esto conseguirás lo que estás buscando.
Saludos !