el problema surge porque el codigo que armaste con el 'switch' lo pusiste a la par con el codigo html, lo que tenes que hacer es como hiciste al principio y al final del archivo; aca te lo dejo corregido, esta un poco desprolijo, pero supongo que te servira al menos para guiarte ^^
Código PHP:
<?php if (!( is_home() )) { ?>
<div id="video"><h4>Videos Destacados</h4>
<object width="310" height="251">
<?php
$var=rand(1,10);
switch ($var) {
case 1:
?>
<param name="movie" value="youtube/v/y2f3j1u0zms&autoplay=1&fs=1&showinfo=0&iv_load_policy=1"></param><param name="allowFullScreen" value="true">
<?php
break;
case 2:
?>
<param name="movie" value="youtube/v/8fcscbJ2rD8&autoplay=1&fs=1&showinfo=0&iv_load_policy=1"></param><param name="allowFullScreen" value="true"> width="310" height="251"></embed></object>
<?php
break;
//etc.
}
?>
</div><?php } ?>
recuerda que siempre puedes poner:
CODIGO HTML
<?php
CODIGO PHP
?>
CODIGO HTML
<?php
CODIGO PHP
?>
lo ideal es usarlo de la forma mas prolija posible :P