Sip, la conexion está verificada porque los demás echos del html sí me muestran lo datos que están en la BD.
He cambiado los Request del $query por POST y por ahora sigue igual todo, también he kitado las comillas. Gracias por el tip. ;)
Ahora está así:
Código PHP:
$query = "UPDATE links SET nombre = '$_POST[nombre]', descripcion = '$_POST[descripcion]', categoria = '$_POST[categoria]', archivo = '$_POST[archivo]', enlace = '$_POST[enlace]' WHERE links.id='$_POST[id]'";
mysql_query ($query)
or die('Invalid query: ' . mysql_error()); ?>