mira no se si te den acceso telnet o kon SSH
Secure Shell y desde la linea de komandos podiar hacer un respaldo de tu base de datos o solo de las tablas ke te interesen
promp:$ mysqldump -p -u susuario basedatos >archivo.sql
y para agregar los datos en la base de datos en el nuevo server
harias un
promp:$ mysql -p -u usuario base de datos<archivo.sql