Algunos servicios de alojamiento web ofrecen opciones para realizar backups. Por ejemplo en los paneles de control DirectAdmin/Cpanel hay opciones de backup mediante cron (para programarlos) y permiten especificar donde se guardarán (en el mismo servidor, en un servidor/ordenador remoto mediante FTP...)
Otra opción si se tienen acceso shell al servidor web, es usar rsync, mysqldump, etc. para realizar dicha tarea.
Otra opción es usar algún programa FTP (si tienes acceso a todas las carpetas que necesitas, incluso a las de la base de datos, en caso de que no sea tipo InnoDB, o sino tendría que ser mediante uno de los métodos mencionados antes o mysqldump, phpmyAdmin, etc)
Otra opción (a probar si funciona) es usar programas de copias de seguridad (tipo SyncBackSE, AceBackup, Cobian Backup...) para sincronizar datos entre dos ordenadores mediante FTP (faltaría comprobar si pueden funcionar para backups de un servidor web).
Otra opción es crear scripts propios para realizar backups.
Otra opción es realizar backups online, en otros sevidores o espacios de alojamiento (Amazon S3...)
Algunas utilidades (no probadas) y ayudas:
Espero que pueda ser de utilidad.
Si alguien sabe de otras opciones también las puede compartir.
Saludos