Hola de nuevo:
Antes de continuar deberías evaluar si el OpenFileDialog es lo que realmente te conviene. En ASP .NET lo normal es utilizar un FileUpload o un control de html, el <input type:file>.
Si lo necesitas realmente prueba a adaptar esto en tu web.config:
Código:
<?xml version="1.0" encoding="utf-8" ?>
<configuration>
<configSections>
<sectionGroup name="WinForm">
<section name="OpenFileTest" type="System.Configuration.NameValueSectionHandler"/>
</sectionGroup>
</configSections>
<WinForm>
<OpenFileTest>
<add key="ApartmentState" value="STA" />
</OpenFileTest>
</WinForm>
</configuration>