El mensaje es bastante claro:
Cita: Error: Couldn't open server log file "/usr/local/apache/domlogs/dominio.com" : Permission denied
No pudo abrir el archivo de logs que registra las visitas de tu sitio, el error es "Permiso denegado".
Cita:
Setup ('/home2/usuario/tmp/awstats/awstats.dominio.com.conf' file, web server or permissions) may be wrong.
Check config file, permissions and AWStats documentation (in 'docs' directory).
Y aquí también menciona que puede ser otro problema de permisos. En ambos casos, te recomiendo contactar a tu proveedor de Hosting directo y solicitar ayuda a ellos, deberían poder solucionarlo.
Saludos,