Es que en ese caso estás asignando el campo nombre al campo nombre
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.
Además, debes tener en cuenta que si no especificas ningún filtro, la sentencia UPDATE acutalizará TODOS los campos.
Supongamos que tienes en la variable $nombre el nuevo nombre. Entonces debería ser:
Pero repito, eso actualizará todos los campos, si no quieres que eso suceda, debes usar un filtro (WHERE)