Hola
Tengo entendido que en las instrucciones SQL el SELECT que esta mas afuera es que muestra la informacion final, por lo tanto el contador deberia ir en esa linea es decir
Código PHP:
SELECT r.id, r.nombre, r.duracion, r.visitas, COUNT(*) as cuantos
FROM categorizado AS a
INNER JOIN videos AS r ON a.id_video = r.id
INNER JOIN categorias AS c ON c.id = a.id_cat
WHERE a.id_cat IN (6, 52, 78, 140, 141, 157)
GROUP BY a.id_video
HAVING COUNT(a.id_cat)>4
espero no estar equivocado
.... por ahora no puedo hacer pruebas...
EDIT:
Ahora bien si estas desde php u otro, es mas facil contar la cantidad de registros que te arroja la instruccion sin necesidad de poner el contador en la instruccion misma
por Ejemplo
Código PHP:
$cuantos = mysql_num_rows($result);