Ayuda con una Exception!

[hoolligan666]

Lo que sucede es que, estás diciendo que tu método busca() lanza la excepción IOException, así que deberías cacharla en algún lugar.
Modifiqué un poco el código que pegaste, a ver si así te funciona bien (las líneas que agregué/modifiqué tienen comentario a la derecha):

Código:

import java.io.*;
import java.util.*;

class existe extends Thread
{
   private boolean running = true;
   
   public existe() {}
   
   public void run()
   {
      while (running)
      {
         try{                                    
          busca();                      //mueves el busca() dentro del try
          System.out.println("");
          System.out.println("Realizando busqueda de actualización...");
          Thread.sleep(10000);
         }
         catch (InterruptedException e)
         {
            running = false;
         }
         catch (IOException e){           //aquí estás cachando la excepción de busca()
                                          //aquí deberías hacer algo con esa excepción (¿mostrar un mensaje, quizá?
         }
       }
   }
   
   public static void main(String[] args) throws IOException
   {
      new existe().start(); 
   }
   
   public static void busca() throws IOException
   {
      try
      {
         String sFichero = "Eambascu.tst";
         File fichero = new File(sFichero);
          
         String cad1 = "flag.txt";
         FileInputStream tream = new FileInputStream(cad1);
         BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(tream));
         String line = in.readLine();
         String line2 = "0";
         
         if (fichero.exists())
         {
            System.out.println("El archivo " + sFichero + " existe");
            
            if (line.equals(line2))
            {   
               String cad = "flag.txt";
               File TextFile = new File(cad);
               FileWriter TextOut;
               try
               {
                  TextOut = new FileWriter(TextFile);
                  TextOut.write("1");
                  System.out.println("Se esta transmitiendo el archivo...");
                  TextOut.close();
               }
               catch(IOException e)
               {
                  e.printStackTrace();
               }
                   
               System.out.println("Trabajando con la bandera");
               
               String cad2 = "flag.txt";
               File TextFile1 = new File(cad2);
               FileWriter TextOut1;
               try
               {
                  TextOut1 = new FileWriter(TextFile1);
                  TextOut1.write("0");
                  System.out.println("Y se puede usar");
                  TextOut1.close();
               }
               catch(IOException e)
               {
                  e.printStackTrace();
               }
            } 
            else
            {
               System.out.println("El archivo esta siendo usado");
            }   
         }  
         else
         {
            System.out.println("El archivo no se encuentra");
         }
         limpiar(50-2);
      }
      catch (IOException e) 
      {
         throw new IOException(e.getMessage());
      }
   }
      
   public static void limpiar(int lineas)
   {
      for (int i=0; i < lineas; i++)
      {
         System.out.println();
      }
   }
}

Si sigue sin funcionar escribe de nuevo, a ver si puedo ayudarte.
¡Saludos!