Con una de las extensiones de Joomla se puede copiar todo el contenido de una web, incluyendo todas las bases de datos que se necesiten.
Puedes utilizar
JoomlaPack. Puede copiar todo tu web en un archivo zip. Despues subes ese archivo al nuevo servidor y con una utilidad (que se baja de la pagina del joomlajack, kickstart) descomprimes el archivo y ejecutas la instalacion