Deberías usar en el css (sí lo usas) un overflow:auto si te has fijado el tex area de tu código html tiene uno y ya que estamos en esto de la maquetación, deberías poner el tamaño de ancho y alto en el css y no en el layout.
Si quieres una solución rápida, sería así (pero mi consejo es que te pases al CSS):
Código HTML:
<textarea style="overflow:auto; width:405px; height:11em;" id="" onKeyUp="textCounter(this.form.message,this.form.remLen,1000)" onKeyDown="textCounter(this.form.message,this.form.remLen,1000)" name="message"></textarea>
<input type="text" size="4" maxlength="4" readonly name="remLen" value="1000">
Suerte.