ayuda con dominio

[usuariodominio]

Buenas,

Necesitaría vuestra ayuda, ya que el proveedor de servicios donde tengo contratado el hosting y alojados los dominios cierra en pocos días, y me encuentro con que tengo que migrar todo rápidamente, mi duda es, hago primero la transferencia del dominio (con el correspondiente problema de que si se tardase mucho supongo que no tengo acceso para cambiar las DNS de apuntamiento) o primero cambio el apuntamiento a la nueva empresa de hosting y una vez que tenga todo allí apuntado hago la transferencia del dominio.
Y tengo también otra duda, teniendo en cuenta que voy a tener a la vez configuradas las cuentas de correo en los dos servidores de las dos empresas de hosting, cuando haga el reapuntamiento, ¿voy a perder correos?, o ¿si no están en un servidor estarán en el otro? Y cuando haga el traslado del dominio, ¿perderé algo?
Muchas gracias por darme algo de luz en este asunto ya que por más que busco por internet estoy bastante pedida.

Saludos