Así al vuelo, se me ocurre que una vez que el usuario introduce el valor, accedas a la propiedad innerHtml del elemento que debería contener el applet (supongo que estás usando un applet) y le setees el html de la siguiente manera.
Código:
var name = prompt("Introduzca un valor", "AQUI");
newHtml = "<applet ...>
<param name='string' value='" + name + "Texto'>
</applet>";
contenedor = document.getElementById(idDelContenedor).innerHtml = newHtml;
Es una idea medio loca, pero me parece viable, probala y avisame si anda.