problema numero 1 figoni ,veo que el enfoque de POO es nuevo para ti o no estas muy acostumbrado
el problema que te marca ahi es 1 porque tu estas poniendo acciones en la definicion de la clase y no en un metodo. como seria un constructor prueba hacer algo como
public class MiConexion
Dim public connection as new SqlConnection()
Public Sub New()
connection.ConectionString="data source.........."
connection.Open()
End Sub
end class
y cuando lo consumas tendras q instanciar tu clase Miconexion
algo como
Dim miconexionAUsar as new Miconexion()
miconexionAUsar.connection ' sera tu sqlconnection abierta
ojo no es el mejor caso solo un ejemplo, dale una vuelta a vb.net y la poo en libros como este
http://oreilly.com/catalog/9780596002572/ si es tu tirada ,pero primero revisa POO antes de empezar tu aplicacion.