Trasladar web a nuevo hosting

[sysdebian]

Hola elefantito.

No hay ningún problema en lo que preguntas.
Lo ideal es bajar el ttl del dominio a unas dos horas un par de días antes, para que la migración tenga el menor impacto posible.
Cambia el dns para que apunte a la ip del nuevo hosting.
En una hora donde menos tráfico tengas, paras el acceso a la web y a la bd. Haces backups de ambos, mucho mejor en frio, (si es un sitio muy grande, haz la copia antes y en este punto solamente sincroniza los cambios).
Restaura en el nuevo hosting y comprueba que todo funciona.
Aún recibirás visitas en el anterior sitio, por lo que puedes poner una web en plan mantenimiento o algo así para los que sigan viendo el sitio antiguo.

Saludos.